[파이썬] 백준 9020번 골드바흐의 추측

9020번: 골드바흐의 추측

문제

1보다 큰 자연수 중에서  1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

제한

• 4 ≤ n ≤ 10,000

예제 입력 1 

3
8
10
16

예제 출력 1 

3 5
5 5
5 11

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처음 풀이

시간 초과 발생

 

접근 순서

• 10,000에 대한 소수 미리 구하기
• 각 n에 맞는 소수 필터링
• 소수 조합 찾기 위한 최소/최대 범위 설정
• 두 소수 차를 최소화하는 범위 내 조합 모두 확인 

문제점

n이 커질 수록 가능한 조합의 수가 많아져 매우 오래 걸림

• 조합 말고 다른 방식으로 접근 필요

# 중복 조합 구하기
from itertools import combinations_with_replacement
# 10000까지의 prime number 미리 구하기.
sieve = [True] * 10000
m = 100

for i in range(2, m + 1):
    if sieve[i - 1] == True:
        for j in range(i + i, 10001, i):
            sieve[j - 1] = False

prime_number = [i for i in range(2, 10001) if sieve[i - 1] == True]

test_case = int(input())

for _ in range(test_case):
    n = int(input())
    temp_prime = [i for i in prime_number if i < n]
    # 조합 구성할 수 있는 가장 작은 소수
    min_num = 0
    # 조합 구성할 수 있는 가장 큰 소수
    max_num = temp_prime[-1]
    # 가장 작은 소수 구하기
    for i in temp_prime[:]:
        if i + max_num >= n:
            # 가장 작은 소수 할당
            min_num = i
            break     
        else :
            temp_prime.remove(i)
            continue
    # 가장 큰 소수 구하기
    for j in temp_prime[::-1]:
        if min_num + j > n:
            temp_prime.remove(j)
        else:
            break
    #max_num 초기화
    max_num = temp_prime[-1]
    # 최소 차이 조합 찾기
    prime_num1, prime_num2 = 0, 0
    min_diff = int(1e9)
    
    # 최소 차이 조합 찾기
    for num1, num2 in combinations_with_replacement(temp_prime, 2):
        if num1 + num2 == n and abs(num1 - num2) < min_diff:
            prime_num1, prime_num2 = num1, num2
            min_diff = abs(num1 - num2)
            
    print(prime_num1, prime_num2)

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최종 풀이

 

최소 차이인 숫자 조합을 찾는 것에 주목

• 굳이 모든 조합을 다 고려할 필요 없음
• 주어진 짝수의 절반부터 차례대로 체크
• 가장 먼저 나오는 소수 조합이 최소 차이

# 10000까지의 prime number 미리 구하기.
sieve = [True] * 10000
sieve[0] = False
m = 100

for i in range(2, m + 1):
    if sieve[i - 1] == True:
        for j in range(i + i, 10001, i):
            sieve[j - 1] = False


test_case = int(input())

for _ in range(test_case):
    n = int(input())
    
    # 시작점/ 끝점 입력
    start = n // 2
    end = start
    
    for i in range(10001):
        if sieve[start - 1] and sieve[end - 1]:
            print(start, end)
            break
        start -= 1
        end += 1

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아이디어 참고

[백준] 9020번 : 골드바흐의 추측 - JAVA [자바]